Что (кто) такое Диофантовы уравнения - определение

Диофа́нтово уравнение (также уравнение в целых числах) — это уравнение вида

${\displaystyle P(x_{1},\dots ,x_{m})=0,}$

где ${\displaystyle P}$ — целочисленная функция, например, полином с целыми коэффициентами, а переменные ${\displaystyle x_{i}}$ принимают целые значения. «Диофантовым» уравнение названо в честь древнегреческого математика Диофанта.

Также при рассмотрении вопроса разрешимости переменные часто разделяют на параметры (значения которых предполагаются фиксированными) и неизвестные. Так, уравнение

${\displaystyle P(a_{1},\dots ,a_{n},x_{1},\dots ,x_{m})=0,}$

с параметрами ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ и неизвестными ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m}}$ считается разрешимым при данных значениях набора параметров ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$, если существуют набор чисел ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{m})}$, при которых это равенство становится верным.

Таким образом, диофантовыми уравнениями называют уравнения с целыми коэффициентами, для которых требуется найти целочисленные (или натуральные) решения. При этом количество неизвестных в уравнении должно быть не менее двух. Своё название уравнения получили в честь выдающегося античного математика Диофанта Александрийского, который, как считается, первым систематически изучал неопределённые уравнения и описывал методы их решения. Все сохранившиеся записи собраны в книгу «Арифметика». После Диофанта схожим изучением неопределённых уравнений занимались индусские математики, начиная примерно с пятого века. В Европе решением неопределённых уравнений занимались практически все крупные алгебраисты своего времени: Леонардо Фибоначчи (ок.1170 — 1250 гг.), Франсуа Виет (1540—1603 гг.), Симон Стевин (ок. 1549—1620 гг.).

Проблема решения уравнений в целых числах рассмотрена до конца для уравнений с одним неизвестным, а также для уравнений первой и второй степени с двумя неизвестными.